Lý thuyết gauge là gì? Các nghiên cứu khoa học liên quan
Lý thuyết gauge là khung lý thuyết trong vật lý mô tả tương tác cơ bản thông qua việc nâng đối xứng toàn cục thành đối xứng cục bộ, gán cho mỗi điểm trong không–thời gian phép biến đổi theo nhóm Lie. Trường gauge A_\mu trung gian tương tác giữa các hạt mang điện tích (charge), với các boson gauge như photon, gluon, W và Z làm trung gian cho tương tác điện từ, mạnh và điện–yếu.
Định nghĩa lý thuyết gauge
Lý thuyết gauge là khung lý thuyết trong vật lý hiện đại mô tả các tương tác cơ bản thông qua khái niệm đối xứng cục bộ (local symmetry). Trong lý thuyết này, mỗi điểm trong không–thời gian được gán một phép biến đổi thuộc nhóm Lie G, gọi là phép biến đổi gauge, mở rộng khái niệm đối xứng toàn cục (global symmetry) của các hệ thống cơ học cổ điển. Các hạt mang “màu” (charge) tương ứng là các đại diện của nhóm G, và tương tác giữa chúng được trung gian hóa bởi các boson gauge, chính là các trường lực Aμ gán vector tiếp tuyến tại mỗi điểm.
Các lý thuyết gauge phổ biến bao gồm:
- U(1): điện động lực học lượng tử (QED), mô tả tương tác điện từ qua photon.
- SU(2)×U(1): tương tác điện–yếu trong Mô hình Chuẩn, qua boson W và Z.
- SU(3): sắc động lực học lượng tử (QCD), tương tác mạnh giữa các quark qua gluon.
Nhờ tính nhất quán và khả năng lượng tử hóa, lý thuyết gauge trở thành nền tảng của Mô hình Chuẩn, đồng thời là đầu mối cho các nỗ lực mở rộng như Grand Unified Theories (GUT) và lý thuyết gauge của lực hấp dẫn.
Lịch sử phát triển
Khái niệm đối xứng gauge khởi nguồn từ điện động lực học Maxwell, trong đó pha của hàm sóng điện tử chỉ xuất hiện như một hằng số toàn cục không ảnh hưởng đến quan sát. Hermann Weyl đã đề xuất mở rộng đối xứng này thành cục bộ vào năm 1918, nhưng chỉ đến khi Yang và Mills xây dựng lý thuyết gauge phi abel (non-abelian) năm 1954 thì khái niệm mới thực sự trưởng thành. Đóng góp này đã được trình bày trong bài báo “Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance” và khởi động một dòng nghiên cứu phong phú về lý thuyết trường.
Trong những năm 1960–1970, với sự phát triển của phương pháp Faddeev–Popov và ‘t Hooft–Veltman, lý thuyết gauge phi abel trở nên khả renormal hóa, mở đường cho Mô hình Chuẩn hoàn chỉnh. Các thí nghiệm tại CERN và Fermilab sau đó xác nhận sự tồn tại của boson W, Z và gluon, củng cố vai trò trung tâm của lý thuyết gauge trong vật lý hạt.
Chi tiết lịch sử và các tài liệu gốc có thể tham khảo tại CERN – Gauge Theories và bài báo khởi đầu của Yang–Mills trên arXiv: arXiv:physics/9701200.
Cấu trúc toán học của đối xứng gauge
Về mặt hình học, lý thuyết gauge được diễn tả thông qua bó (bundle) G-principal trên không–thời gian M, với các thành phần chính:
| Khái niệm | Ký hiệu / Biểu diễn | Vai trò |
|---|---|---|
| Nhóm gauge | G (Lie group) | Xác định tập phép biến đổi gauge |
| Kết nối (connection) | A = Aμdxμ | Cho phép tính vi phân covariant, chỉ ra cách các trường quay theo gauge |
| Độ cong (curvature) | F = dA + A∧A | Biểu diễn trường lực và tương tác tự phi tuyến |
| Bó chính (principal bundle) | P(M,G) | Không gian tổng nơi các trường gauge sống và biến đổi |
Phép biến đổi gauge cục bộ g được thể hiện qua:
A_\mu \;\to\; A_\mu^g = g A_\mu g^{-1} + (\partial_\mu g)\,g^{-1}, \end{script>
đảm bảo tính bất biến gauge của hành động và các quan sát vật lý, đồng thời cho phép xây dựng các định lý bảo toàn thông qua công thức Noether cho đối xứng cục bộ.
Phương trình Yang–Mills
Hành động Yang–Mills cho trường gauge A trên không–thời gian bốn chiều được viết: